Tischina
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MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 10:35
Hallo zusammen,
Ich bin mir bei zwei Teilaufgaben von Nr. 4 völlig unsicher und wäre dankbar wenn mal jemand ein Blick darauf werfen könnte.
Die quadratische und ebene Grundfläche eines Körpers hat die Eckpunkte A1(4/4/0), A2(4/-4/0), A3(-4/-4/0), A4(-4/4/0).
Die Deckfläche dieses Körpers ist ebenfalls eben und hat die Eckpunkte B1(2/3/4), B2(3/-2/4), B3(-2/-3/4) und B4(-3/2/4).
Punkte mit gleichem Index sind mit einer geradlinigen Strecke verbunden. Damit entseht ein "verdrehter Pyramidenstumpf".
c) Begründen Sie, dass die Steitenflächen des Körpers nicht eben sind! (Tipp: "eben" kommt von "Ebene"!)
d) Begründen Sie mit einer Rechnung, dass sich die Verlängerungen der Steitenkanten (z.B. die durch die Strecke A1B1 und die Strecke A3B3 bestimmten Geraden) nicht schneiden!
Meine Versuche:
c) A1A2=g1 und A1B1=g2
g1:  + r*  g2: +s* 
daraus folgt: r=0, s=0
Die Stecken A1A2 und A1B1 schneiden sich nur im Punkt A1(4/4/0). Da A1A2 Teil einer Ebene ist und A1B1 diese Ebene scheidet, können die Seitenflächen nicht eben sein. (Erscheint mir aber mittlerweile selbst nicht mehr wirklich überzeugend...)
d)
A1B1= + r*  A3B3=  + r* 
0 x
daraus folgt: s= -4/3, r= -1 1/6, x=1/6
Einsetzten in A1B1 und A3B3 ergibt:
A1B1=  A3B3= 
Es ist egal wie man die Faktoren r und s verändert, x1 und x2 sind immer gleich, x3 unterscheidet sich. D.h. A1B1 und A3B3 liegen nicht in der gleichen Ebene und schneiden sich auch bei einer Verlängerung nicht.
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Jacques
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Re:MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 14:19
Hallo,
Dein Lösungsansatz zu c) ergibt in der Form keinen Sinn. Dass sich die Kanten A1A2 und A1B1 nur im Eckpunkt A1 schneiden ist doch selbstverständlich und muss so sein; sonst wäre die ganze Figur widersprüchlich. Über die Seitenflächen sagt das nichts aus.
Ich glaube, Du hast irgendeinen Denkfehler bei den Ebenen gemacht. Eine Gerade legt keine Ebene fest, weil durch eine Gerade ja unendlich viele Ebenen gehen. Nur drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen eine Ebene. Du könntest z. B. Folgendes machen: Ermittle die Ebene durch die Eckpunkte A1, A2 und B1 und zeige, dass der Eckpunkt B2 nicht in dieser Ebene liegt. Damit ist schonmal diese Seitenfläche nicht eben. Und dann wiederholst Du das einfach für die anderen drei Seitenflächen.
Alternativ kannst Du bei den Seitenflächen auch jeweils die Ecken zu einem Vektorzug verbinden und die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren zeigen.
Dein Ansatz für d) passt leider auch von der Logik her nicht. Du stellst mit dem Parameter x erstmal zwei Gleichungen für Geradenbüschel auf (warum?). Trotzdem schreibst Du diese Büschelgleichungen so auf, als wären es die Gleichungen der Geraden A1B1 und A3B3 (auch hier: warum?).
Danach scheinst Du die Schnittpunkte dieser Büschel zu ermitteln, bekommst aber für dieselben Schnittpunkte unterschiedliche Ergebnisse (dann hast Du Dich verrechnet!). Anschließend schreibst Du diese Punkte so auf, als wären es Geraden (??) und folgerst daraus irgendetwas über die Ebenen.
Das meine ich jetzt wirklich nicht böse, aber kann es sein, dass Du bei dieser Aufgabe mehr oder weniger auf gut Glück losgerechnet hast? Denn irgendwie sehe ich hinter den einzelnen Schritten keine Logik.
Wenn ich Dir einen Tipp geben darf:
Bei den Aufgaben sollte man erstmal versuchen, sich die Situation bildlich vorzustellen. Also was ist gegeben, was soll man zeigen bzw. berechnen. Wenn die Aufgabe kompliziert ist, sollte man eine Skizze als Hilfsmittel aufmalen.
Danach überlegt man sich im Kopf einen Lösungsansatz. Am besten erst nur die grobe Idee und im nächsten Schritt die mathematische Umsetzung.
Und am Ende schreibst Du dann den konkreten Lösungsweg auf.
Du solltest wirklich versuchen, systematisch an die Aufgaben heranzugehen. Rechne nicht einfach drauflos in der Hoffnung, dass irgendwas Sinnvolles dabei herauskommt.
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Tischina
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Re:MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 16:04
Erst mal danke für deine Hilfe. Aufgabe c hab ich inzwischen auch gelöst und diesmal bin ich von deren Richtigkeit auch überzeugt 
Aber was willst du mir mit d sagen? Geradenbüschel? Was??? Warum soll ich die x3-Komponente nicht gleich x setzten? Gibt diese nicht die Länge bzw. die Verlängerung an?
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Jacques
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Re:MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 17:43
Tischina schreibt:
Aber was willst du mir mit d sagen? Geradenbüschel? Was??? Warum soll ich die x3-Komponente nicht gleich x setzten? Gibt diese nicht die Länge bzw. die Verlängerung an?
Nein, das ist falsch.
Zum einen: Wenn Du die Geraden ermittelst, die durch die entsprechenden Punkte gehen, dann hast Du doch schon die fertigen Verlängerungen. Was willst Du da noch verlängern? Geraden sind ja schon unendlich lang.
Und wenn Du beim Richtungsvektor eine Komponente variabel machst, dann bewirkt das keine Streckung der Geraden, sondern etwas völlig anderes: Der Richtungsvektor ist jetzt ja nicht mehr fest; je nach Wert der Variablen lautet er anders. Das heißt, die Geradengleichung stellt in Wahrheit nicht mehr eine einzelne Gerade dar, sondern eine Gruppe von Geraden, die sich durch die dritte Komponente des Richtungsvektors unterscheiden (konkret ist es ein Geradenbüschel, weil sich alle Geraden in einem Punkt schneiden). Das ist genau dasselbe wie bei Funktionsscharen, wo es ja auch einen Parameter gibt, der die verschiedenen Funktionen „erzeugt“.
Also ich verstehe jetzt Deine Idee, aber das funktioniert einfach nicht. Übrigens ist der Ansatz schon vom Prinzip her nicht richtig: Wenn Du bei einem Vektor eine Komponente veränderst, dann bewirkt das in Wahrheit eine Ausscherung in der x-, y- oder z-Ebene (je nach dem, welche Komponente Du veränderst). Für eine Streckung musst Du den Vektor mit einer Zahl mulitplizieren.
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Tischina
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Re:MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 17:56
Ach sooo, das bedeutet dann also das ich z.B. A1B1 und A3B3 nur gleichsetzen muss und ausrechnen ob sich ein Schnittpunkt ergibt, oder?
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Re:MatL 3N Nr.4 - 10/07/2010 18:01
Ja genau. Wobei Du ja zeigen sollst, dass es gerade keinen Schnittpunkt gibt; Du brauchst also gar nicht zu rechnen, sondern musst nur die Unlösbarkeit des entsprechenden Gleichungssystems zeigen.
Und das musst Du dann bei jeder Seitenkanten-Kombination machen: A1B1 und A2B2, A1B1 und A3B3, A1B1 und A4B4, A2B2 und A3B3 u. s. w. Das sind insgesamt sechs Kombinationen.
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Re:MatL 3N Nr.4 - 11/07/2010 12:08
Noch eine Sache:
Deine Schreibweisen sind teilweise falsch, und Du unterscheidest nicht genau zwischen Punkt, Vektor und Gerade.
Die Schreibweise für eine Geradengleichung ist
Du hast das „(x y z) =“ vergessen. Dann ergibt es keinen Sinn (und ist ja auch gar keine Gleichung mehr).
Ein Vektor und einer Gerade sind völlig unterschiedliche Sachen. Eine Gerade ist eine unendlich lange Linie an einem festen Ort. Ein Vektor hat eine endliche Länge und eine Richtung und keinen Ort (also ein Vektor liegt nicht an einer bestimmten Stelle). Ein Punkt ist natürlich nochmal was anderes.
Wenn Du einen Vektor durch den Anfangs- und Endpunkt eines Repräsentanten festlegst, dann musst Du einen Pfeil darüber schreiben. Ohne Pfeil wäre es die Schreibweise für eine Gerade.
Und einen Punkt darfst Du nicht als Vektor schreiben. Die Spaltenschreibweise mit den Zahlen untereinander ist für Vektoren, für Punkte musst Du die Tupelschreibweise benutzen: (x, y, z).
Das sind nicht nur Formalitäten! Wenn Du bei den Schreibweisen und Begriffen Fehler machst, versteht man viele Rechenschritte gar nicht – und Du kannst auch leicht selber durcheinanderkommen, ob Du jetzt einen Punkt, einen Vektor oder irgendwas anderes berechnet hast.
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Myden
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Re:MatL 3N Nr.4 - 22/07/2010 18:35
Hallo Leute!
Ich bin hier neu, aber trotzdem mache ich auch das ILS Heft MatL 3N!Schon bei der ersten Aufgabe sitze ich fest!
Das Heft habe ich ordentlich gemacht, alles verstanden, aber jz bei dieser Aufgabe sitze ich fest!
Durch die Punkte A1 (-1,-7,-2); B1 (3,-1,0) bzw. A2 (7,4,5) und B2 (3,0,-3) verlauft je eine Gerade g1 und g2!
FRAGEN:
a) In welchem Punkt schneiden sich diese Geraden?
b) Und unter welchem Winkel?
Ich weiss, dass ich bei mir A1 der Stuetzvektor ist und B1 der Richtungsvektor (b-a), das habe ich auch ausgerechnet und habe das rausbekommen:
g1--- x= (-1;-7;-2) (in Vektor schreibweise natuerlich) + r mal (4;6;2) auch in vektor schreibweise! das selbe habe ich mit g2 gemacht, nur mit Punkten A2 und B2!
das muss man ja Gleichsetzen und bekommt die werte fuer r und s, aber ich bekomme jedes mal unwahre aussagen!
bin einbisschen ueberfordert!
HILFE BITTE!!
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Re:MatL 3N Nr.4 - 22/07/2010 18:59
Hallo,
So allgemein kann man natürlich schlecht helfen. Wie lautet Dein Gleichungssytem, und was hast Du dafür als Lösung raus? Du hast Dich wahrscheinlich einfach irgwendwo verrechnet.
Nur für die Exaktheit:
A1 und B1 sind Punkte, keine Geraden. Also Du kannst nicht sagen, dass A1 der Stützvektor ist o. ä. (Du meinst natürlich den Vektor mit den entsprechenden Komponenten, aber das ist eben nicht der Punkt A1). Und eine Geradengleichung hat diese Form:
Du könntest und solltest den Richtungsvektor übrigens noch vereinfachen, indem Du ihn durch 2 dividierst.
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